Question

6．已知函数f（x）=e^x[2ax²-（1+4a）x+4a+2]，其中a∈R．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性并求出其单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出切线上的点（1，f（1））和切线的斜率f′（1），带入直线的点斜式方程即可；
（2）求出f′（x），根据a的取值讨论f′（x）的符号即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=e^x（2x²-5x+6），
f′（x）=e^x（2x²-5x+6）+（4x-5）e^x=e^x（2x²-x+1）．
∴f′（1）=2e，f（1）=3e．
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
y-3e=2e（x-1），即2ex-y+e=0．
（2）f（x）=e^x[2ax²-（1+4a）x+4a+2]，
∴f′（x）=e^x[2ax²-（1+4a）x+4a+2]+（4ax-4a-1）e^x=e^x（2ax²-x+1）．
令f′（x）=0得2ax²-x+1=0．
①若a=0，则x=1，
当x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0．
②若a≠0，△=1-8a
∴当1-8a≤0即a≥$\frac{1}{8}$时，f′（x）≥0，
当1-8a＞0即a＜$\frac{1}{8}$时，f′（x）=0的解为x₁=$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$．
∴当0＜a＜$\frac{1}{8}$，x₁＜x₂，当a＜0时，x₁＞x₂．
∴若0＜a＜$\frac{1}{8}$，当x＜$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$或x＞$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$时，f′（x）＞0；
当$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$时，f′（x）＜0；
若a＜0，当x＜$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$或x＞$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$时，f′（x）＜0；
当$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$＜x＜$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$时，f′（x）＞0．
综上所述：当a=0时，f（x）在（-∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；
当a≥$\frac{1}{8}$时，f（x）在R上是增函数；
当0＜a＜$\frac{1}{8}$时，f（x）在（-∞，$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$）上是增函数，在（$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$，$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$）上是减函数，在（$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$，+∞）上是增函数；
当a＜0时，f（x）在（-∞，$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$）上是减函数，在（$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$，$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$）上是增函数，在（$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$，+∞）上是减函数．

点评 本题考察了导数的几何意义，导数与函数单调性的关系，分类讨论思想．