Question

5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）关于直线x=$\frac{2π}{3}$对称，且它的最小正周期为π，则（　　）

• A． f（x）的图象过点（0，$\frac{1}{2}$）
• B． f（x）在[$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]上是减函数
• C． f（x）的一个对称中心是（$\frac{5π}{12}$，0）
• D． f（x）的图象的一条对称轴是x=$\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 由周期公式可求ω，由2×$\frac{2π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，结合范围-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ，从而可得解析式f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的图象和性质即可一一判断选项．

解答 解：∵最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，
∴解得ω=2，
∵由题意可得：2×$\frac{2π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得：φ=kπ-$\frac{5π}{6}$，k∈Z，由-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{6}$，可得：f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（0）=Asin$\frac{π}{6}$=$\frac{A}{2}$，A错误；
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得f（x）在[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z是减函数，故B错误；
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z可解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，故当k=1时，f（x）的一个对称中心是（$\frac{5π}{12}$，0），
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，故D错误．
故选：C．

点评 本题主要考查了三角函数周期公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．