Question

【题目】已知圆和抛物线，圆与抛物线的准线交于、两点，的面积为，其中是的焦点.

（1）求抛物线的方程；

（2）不过原点的动直线交该抛物线于，两点，且满足，设点为圆上任意一动点，求当动点到直线的距离最大时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由题意表示的面积，解出p值，即可求出抛物线的方程；

（2）利用直线和抛物线的位置关系，建立方程组，进一步利用一元二次方程根与系数的关系建立等量关系，最后利用最大值求出直线的方程．

（1）由题意知，圆的标准方程为，圆心坐标为.

抛物线的焦点，准线方程为，

将代入圆方程，得，

∴ ，的面积为，

∴，∴抛物线的方程为.

（2）设的直线方程为，，，联立方程组得：

，消去，整理得，

令，得.

由韦达定理得，①

则 .

由于，可得.

即，②

将①代入②整理得.

由于得，则直线过定点，

当时，圆心到直线的距离取得最大值，

此时，则直线的斜率为，

所以直线的方程为.