Question

【题目】已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且.

（1）求的解析式；

（2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由解之即可；（2）将函数的解析式代入化简，把函数在上只有一个零点的问题转化成方程的根的问题，然后利用指数、对数的运算性质进一步转化为方程，再通过换元法可变为方程只有一个正根的问题，最后分成方程有两相等正根、一正跟一负根和方程为一次方程三种情况讨论即可.

（1） 因为，所以，即，

由解之得：.

（2）

进一步化简得，

令得：，

化简得：，令，则，

即方程只有一个正根，当时，，满足题意；当方程有一正一负两根时，满足条件，则，所以；当方程有两个相等的正根时，则，所以或（舍），时，满足条件.

综上，实数的取值范围为：.