Question

15．已知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+cosx．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若$α∈（0，\frac{π}{2}）$，f（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，求tan2α的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换化简可得解析式为f（x）=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$），由2kπ$-\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得单调增区间．
（2）由（1）及诱导公式可求cosα，结合$α∈（0，\frac{π}{2}）$，可求sinα，从而可求tanα，由二倍角的正切公式可求tan2α的值．

解答 解：（1）因为f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+cosx=sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$+cosx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{3}{2}$cosx  …（2分）
=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$）．…（4分）
所以2kπ$-\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即-$\frac{5π}{6}$+2kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
所以，f（x）的单调增区间为[-$\frac{5π}{6}$+2kπ，$\frac{π}{6}$+2kπ]（k∈Z）．…（7分）
（2）由（1）知f（α+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（$α+\frac{π}{2}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
所以sin（$α+\frac{π}{2}$）=$\frac{3}{5}$，即cos$α=\frac{3}{5}$，…（9分）
因为$α∈（0，\frac{π}{2}）$，所以sin$α=\frac{4}{5}$，
所以tan$α=\frac{4}{3}$，…（11分）
所以tan2$α=\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=-$\frac{24}{7}$．…（14分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦函数的单调性，同角三角函数关系式，二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．