Question

20．设x，y都是正数，且x+y＞2．证明：$\frac{1+x}{y}$＜2和$\frac{1+y}{x}$＜2中至少有一个成立．

Answer 1

分析 假设$\frac{1+x}{y}$≥2且$\frac{1+y}{x}$≥2，根据x，y都是正数可得 x+y≤2，这与已知x+y＞2矛盾，故假设不成立．

解答 证明：假设$\frac{1+x}{y}＜2$和$\frac{1+y}{x}＜2$都不成立，即$\frac{1+x}{y}$≥2且$\frac{1+y}{x}$≥2，…（2分）
∵x，y都是正数，∴1+x≥2y，1+y≥2x，…（5分）
∴1+x+1+y≥2x+2y，…（8分）
∴x+y≤2…（10分）
这与已知x+y＞2矛盾…（12分）
∴假设不成立，即$\frac{1+x}{y}＜2$和$\frac{1+y}{x}＜2$中至少有一个成立…（14分）

点评 本题考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．