Question

【题目】已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量＝(cos B，cos C)，＝(2a＋c，b)，且⊥．

(1)求角B的大小；

(2)若b＝，求a＋c的范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）(，2]．

【解析】

（1）利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosB的值，即可确定出B的度数；

（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出a+c的最大值，最后利用三角形两边之和大于第三边求出a+c的范围即可．

(1)∵＝(cos B，cos C)，＝(2a＋c，b)，且⊥．

∴(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，∴cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0，

∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0．即2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A．

∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝－．∵0＜B＜π，∴B＝．

(2)由余弦定理得

b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2-＝ (a＋c)2，

当且仅当a＝c时取等号．∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2．

又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．即a＋c的取值范围是(，2]．