题目内容
【题目】如图,在三棱锥中,
,
,
为
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)若点在棱
上,且
,求点
到平面
的距离.
【答案】解:
(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.
连结OB.因为AB=BC=,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=
=2.
由知,OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC==2,CM=
=
,∠ACB=45°.
所以OM=,CH=
=
.
所以点C到平面POM的距离为.
【解析】分析:(1)连接,欲证
平面
,只需证明
即可;(2)过点
作
,垂足为
,只需论证
的长即为所求,再利用平面几何知识求解即可.
详解:(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.
连结OB.因为AB=BC=,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=
=2.
由知,OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC==2,CM=
=
,∠ACB=45°.
所以OM=,CH=
=
.
所以点C到平面POM的距离为.
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