题目内容
【题目】已知抛物线
的焦点为
，
为
轴上的点.
（1）过点
作直线
与
相切，求切线的方程；
（2）如果存在过点的直线
与抛物线交于
，
两点，且直线
与
的倾斜角互补，求实数
的取值范围.
【答案】(1) 切线
的方程为
或
;(2) 
.
【解析】试题分析：（1）设切点为
，利用导数求出切线斜率，由点斜式求得切线方程，将
代入切线方程，求出
或
，进而可得切线方程；（2）设直线
的方程为
，代入
得
，根据斜率公式可得
，韦达定理得
，利用判别式大于零可得结果.
试题解析：（1）设切点为，则
.
∴
点处的切线方程为
.
∵过点
，∴
，解得或.
当
时，切线的方程为，
当
时，切线的方程为或
.
（2）设直线的方程为，代入得.
设
，
，则
，
.
由已知得
，
即
，∴.
把①代入②得，③
当时，显然成立，
当时，方程③有解，∴
，解得
，且.
综上，.
【题目】1766年；人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU，AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：
行星编号（x） | 1（金星） | 2（地球） | 3（火星） | 4（ ） | 5（木星） | 6（土星） |
离太阳的距离（y） | 0.7 | 1.0 | 1.6 | 5.2 | 10.0 |
受他的启发，意大利天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星.
（1）为了描述行星离太阳的距离y与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论即可）；
①
；②
；③
.
（2）根据你的选择，依表中前几组数据求出函数解析式，并用剩下的数据检验模型的吻合情况；
（3）请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离.
