题目内容
【题目】已知抛物线的焦点为
,
为
轴上的点.
(1)过点作直线
与
相切,求切线
的方程;
(2)如果存在过点的直线
与抛物线交于
,
两点,且直线
与
的倾斜角互补,求实数
的取值范围.
【答案】(1) 切线的方程为
或
;(2)
.
【解析】试题分析:(1)设切点为,利用导数求出切线斜率,由点斜式求得切线方程,将
代入切线方程,求出
或
,进而可得切线方程;(2)设直线
的方程为
,代入
得
,根据斜率公式可得
,韦达定理得
,利用判别式大于零可得结果.
试题解析:(1)设切点为,则
.
∴点处的切线方程为
.
∵过点
,∴
,解得
或
.
当时,切线
的方程为
,
当时,切线
的方程为
或
.
(2)设直线的方程为
,代入
得
.
设,
,则
,
.
由已知得,
即,∴
.
把①代入②得,③
当时,显然成立,
当时,方程③有解,∴
,解得
,且
.
综上,.

【题目】1766年;人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离(单位:AU,AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位)的排列规律后,预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在,并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据:
行星编号(x) | 1(金星) | 2(地球) | 3(火星) | 4( ) | 5(木星) | 6(土星) |
离太阳的距离(y) | 0.7 | 1.0 | 1.6 | 5.2 | 10.0 |
受他的启发,意大利天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星.
(1)为了描述行星离太阳的距离y与行星编号之间的关系,根据表中已有的数据画出散点图,并根据散点图的分布状况,从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型(直接给出结论即可);
①;②
;③
.
(2)根据你的选择,依表中前几组数据求出函数解析式,并用剩下的数据检验模型的吻合情况;
(3)请用你求得的模型,计算谷神星离太阳的距离.