题目内容
(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,
第3小题满分8分.
如果数列同时满足:(1)各项均为正数,(2)存在常数k, 对任意都成立,那么,这样的数列我们称之为“类等比数列” .由此各项均为正数的等比数列必定是“类等比数列” .问:
(1)若数列为“类等比数列”,且k=(a2-a1)2,求证:a1、a2、a3成等差数列;
(2)若数列为“类等比数列”,且k=, a2、a4、a5成等差数列,求的值;
(3)若数列为“类等比数列”,且a1=a,a2=b(a、b为常数),是否存在常数λ,使得对任意都成立?若存在,求出λ;若不存在,说明理由.
第3小题满分8分.
如果数列同时满足:(1)各项均为正数,(2)存在常数k, 对任意都成立,那么,这样的数列我们称之为“类等比数列” .由此各项均为正数的等比数列必定是“类等比数列” .问:
(1)若数列为“类等比数列”,且k=(a2-a1)2,求证:a1、a2、a3成等差数列;
(2)若数列为“类等比数列”,且k=, a2、a4、a5成等差数列,求的值;
(3)若数列为“类等比数列”,且a1=a,a2=b(a、b为常数),是否存在常数λ,使得对任意都成立?若存在,求出λ;若不存在,说明理由.
(1)详见解析,(2)或,(3)
试题分析:(1)解决新定义问题,关键根据“定义”列条件,当时,在中,令得即因为所以即故成等差数列,(2)根据“定义”,将所求数列转化为等比数列.当时,,因为数列的各项均为正数,所以数列是等比数列,设公比为因为成等差数列,所以即因为所以 ,,解得或(舍去负值).所以或,(3)存在性问题,通常从假设存在出发,列等量关系,将是否存在转化为对应方程是否有解. 先从必要条件入手,再从充分性上证明:因为所以所以即得所以
而
试题解析:[解] (1)当时,在中,令得
即 2分
因为所以即
故成等差数列 4分
(2)当时,,因为数列的各项均为正数
所以数列是等比数列 6分
设公比为因为成等差数列,所以
即因为
所以 , 8分
解得或(舍去负值).所以或 10分
(3)存在常数使(仅给出结论2分)
(或从必要条件入手)
证明如下:因为所以
所以即 12分
由于此等式两边同除以得 14分
所以
即当都有 16分
因为所以
所以
所以对任意都有
此时 18分
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