Question

【题目】已知函数f（x）=log4（4x+1）﹣ x．
（1）试判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）设g（x）=log4（a2x﹣ a），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）为R上的偶函数，以下进行证明：

易知，f（x）的定义域为R，关于原点对称；

因为f（x）=log4（4x+1）﹣ x=log4（4x+1）﹣ = = ．，

所以f（﹣x）= =f（x），所以f（x）为R上的偶函数

（2）解：f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，只需方程 =log4（a2x﹣ a）有且只有一个实根，即方程 有且只有一个实根．

令t=2x＞0，则方程（a﹣1）t2﹣ at﹣1=0有且只有一个正根

①a=1时t=﹣ ，不合题意；

②若△=0则a= 或者a=﹣3；

若a= ，则t=﹣2，不合题意；若a=﹣3则t= ，符合题意

③若△＞0，则方程有两根，显然方程没有零根．

所以依题意知，方程有一个正根与一个负根，即 解得a＞1，

综上所述：实数a的取值范围是{﹣3}∪（1，+∞）

【解析】（1）利用奇偶函数的定义进行判断；（2）f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，等价于方程 =log4（a2x﹣ a）有且只有一个实根，令t=2x＞0，则方程（a﹣1）t2﹣ at﹣1=0有且只有一个正根．对系数a讨论，得知．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的奇偶性(偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称)．