Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）（其中a∈R，且a为常数） （Ⅰ）当a=4时，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若方程f（x）+a+1=0在x∈（1，2）上有且只有一个实根，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞） 由 ，
当a=4时， ，
∴函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，（2，+∞）在上单调递增；
（Ⅱ）由
当a≤2时，
∵f'（x）＞0对于x∈（1，+∞）恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增
∴f（x）＞f（1）=0，此时命题成立；
当a＞2时，
∵f（x）在 上单调递减，在 上单调递增，
∴当 时，有f（x）＜f（1）=0．这与题设矛盾，不合．
故a的取值范围是（﹣∞，2]；
（Ⅱ）依题意，设g（x）=f（x）+a+1，
原题即为若g（x）在（1，2）上有且只有一个零点，求a的取值范围．
显然函数g（x）与f（x）的单调性是一致的．
当a≤0时，因为函数g（x）在（1，2）上递增，
由题意可知 ，
解得 ；
当a＞0时，因为g（x）=（x﹣1）2+alnx+（2﹣x）a+1，
当x∈（1，2）时，总有g（x）＞0，此时方程没有实根．
综上所述，当 时，方程f（x）+a+1=0在x∈（1，2）上有且只有一个实根．
【解析】（Ⅰ）根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（Ⅱ）分类讨论，确定函数的单调性，从而解得；（Ⅲ）依题意，设g（x）=f（x）+a+1，原题即为若g（x）在（1，2）上有且只有一个零点，求a的取值范围．显然函数g（x）与f（x）的单调性是一致的，根据函数的单调性，当a＜0，即可得到可知 ，解得即可，当a≥0，判断此时方程没有实根，问题得以解决．