Question

【题目】若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（x+1）﹣f（x）=4x+1，且f（0）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞6x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（0）=3得，c=3．∴f（x）=ax2+bx+3．

又f（x+1）﹣f（x）=4x+1，∴a（x+1）2+b（x+1）+3﹣（ax2+bx+3）=4x+1，

即2ax+a+b=4x+1，

∴ ，∴ ．∴f（x）=2x2﹣x+3

（2）解：f（x）＞6x+m等价于2x2﹣x+3＞6x+m，即2x2﹣7x+3＞m在[﹣1，1]上恒成立，

令g（x）=2x2﹣7x+3，则g（x）min=g（1）=﹣2，∴m＜﹣2

【解析】（1）利用f（0）=3求出c，利用f（x+1）﹣f（x）=4x+1求出a，b，即可求f（x）的解析式；（2）在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞6x+m恒成立，转化为二次函数的闭区间上的最值，求解实数m的取值范围．