题目内容
【题目】设函数
(1)设,
,证明:
在区间
内存在唯一的零点;
(2)设,若对任意
,有
,求
的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
试题(Ⅰ)函数y=f(x)如果满足:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,②f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点;方法:先利用零点的判定方法判断存在性,再利用区间内函数是单调的说明唯一性
(Ⅱ)先对任意,都有
,说明最大值与最小值之差
,然后在进行分类讨论
试题解析:(Ⅰ)设,当
时,
1分
,
在区间
内存在零点 2分
又设,
,
即在区间
内单调递增 2分
在区间
内存在唯一的零点 1分
(Ⅱ)当时,
1分
对任意,都有
等价于
在
上的最大值与最小值之差
,1分 据此分类讨论如下:
(1)、当,即
时,
,与题设矛盾; 1分
(2)、当,即
时,
恒成立; 1分
(3)当,即
时,
恒成立 1分
综上可得,,
的取值范围为
1分
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