题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,且在
轴上的顶点分别为
,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与
轴交于点
,点
为直线
上异于点
的任一点,直线
分别与椭圆交于
点,试问直线
能否通过椭圆的焦点?若能,求出
的值,若不能,说明理由.
【答案】(1);(2)能,
【解析】
(1)由题意得,,从而求得
、
的值,从而求得椭圆的方程.
(2)设,
,
,
,把直线方程代入椭圆的方程解出
点、
点坐标,由直线
与直线
的交点
在直线
上,求出直线
与
轴交点坐标,从而求得线
是通过椭圆的焦点的条件.
解:(1)由已知椭圆的离心率
,
,则得
,
.从而椭圆的方程为
.
(2)设,
,直线
的斜率为
,则直线
的方程为
,由
消
整理得
和
是方程的两个根,
则
,
,即点
的坐标为
,
同理,设直线的斜率为
,则得点
的坐标为
,
,
直线
的方程为:
,
令
,得
,将点
的坐标代入,化简后得:
又,
椭圆的焦点为
,即
故当时,
过椭圆的焦点.
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