题目内容
【题目】已知函数.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)求函数的单调区间及极值;
(3)对成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
单调递减区间为
,单调递增区间为
,极小值为
,无极大值;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)由题意切点为,求导可得斜率,即可写出切线方程;(2)对函数
求导,判断导函数的正负情况,写出单调区间及极值;(3)对
成立,即
,构造函数
,求导分别对
和
分类讨论,
单调递增舍去,
时再按
和
分两种情况分别研究单调性和最值,比较最值和
的大小关系,求出
的范围.
试题解析:解:(1)由题意知的定义域为
且
,
又∵,
故切线方程为.
(2),
,
当时,则
,
此时在
上单调递减.
当时,则
,此时
,
在
上单调递增.
故在单调递减区间为
,单调递增区间为
.
当时,
取极小值,且
极小值为-2,
无极大值
(3)对成立,即
,
令,
则当时,
恒成立.
因为.
①当时,
,
在
上单调递增,故
,
这与恒成立矛盾
②当时,二次方程
的判别式
,令
,解得
,此时
在
上单调递减.
故,满足
恒成立.
由得
,方程
的两根分别是
,其中
,
当时,
在
上单调递增,
,
这与恒成立矛盾.
综上可知:
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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