题目内容
【题目】已知二次函数的对称轴为
,
.
(1)求函数的最小值及取得最小值时
的值;
(2)试确定的取值范围,使
至少有一个实根;
(3)若,存在实数
,对任意
,使
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1),此时
;(2)
的取值范围为
;(3)实数
的取值范围为
.
【解析】
试题分析:(1)利用基本不等式易得,此时
.(2)
至少有一个实根,即
与
的图象在
上至少有一个交点,由题意,可得
,
,则需
即可;(3)由题意,可得
,则
,
由已知存在实数,对任意
,使
恒成立.即
.令
∴
,转化为存在
,使
成立.令
,
的对称轴为
,分类讨论,即可得到实数
的取值范围
试题解析:(1)∵,∴
,
∴,当且仅当
,即
时“=”成立,即
,此时
.
(2)的对称轴为
,∴
,∴
,
至少有一个实根,∴
至少有一个实根,
即与
的图象在
上至少有一个交点,
,∴
,
,
∴,∴
,∴
的取值范围为
.
(3),∴
,
由已知存在实数,对任意
,使
恒成立.
∴.
令,∴
,即
,
转化为存在,使
成立.
令,∴
的对称轴为
,
∵,∴
.
①当,即
时,
,
∴,∴
.
②当,即
时,
,
∴,∴
,∴
.
综上,实数的取值范围为
.
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