Question

7．已知四面体ABCD的所有顶点都在球O的球面上，球O的半径为2，AB，AC，AD两两垂直，AB=$\sqrt{2}$，则四面体ABCD体积的最大值为（　　）

• A． $\frac{7\sqrt{2}}{6}$
• B． $\frac{7}{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 设AC=a，AD=b，则a²+b²+2=16，利用基本不等式，可得ab≤7，利用体积公式，即可求出四面体ABCD体积的最大值．

解答 解：设AC=a，AD=b，则a²+b²+2=16，∴a²+b²=14，∴14≥2ab，
∴ab≤7
∴四面体ABCD体积V=$\frac{\sqrt{2}}{3}$×$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{7\sqrt{2}}{6}$，
∴四面体ABCD体积的最大值为$\frac{7\sqrt{2}}{6}$，
故选：A．

点评 本题考查四面体ABCD体积的最大值，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．