Question

17．已知矩阵A=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{-1}&{4}\end{array}]$，向量$\overrightarrow{a}$=$[\begin{array}{l}{7}\\{4}\end{array}]$．
（1）求A的特征值和对应的特征向量；
（2）计算A⁵α的值．

Answer 1

分析 （1）通过令矩阵A的特征多项式为f（λ）=0，可得特征值，进而可得对应的特征向量；
（2）通过解方程组α=mα₁+nα₂，可得m=3，n=1，进而可得结论．

解答 解：（1）矩阵A的特征多项式为f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{-2}\\{1}&{λ-4}\end{array}|$=λ²-5λ+6=0，
解得：λ₁=2，λ₂=3，
当λ₁=2时，得α₁=$[\begin{array}{l}{2}\\{1}\end{array}]$；
当λ₂=3时，得α₂=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$；
（2）由α=mα₁+nα₂，可得：$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=7}\\{m+n=4}\end{array}\right.$，
解得m=3，n=1，
∴A⁵α=A⁵（3α₁+α₂）=3（A⁵α₁）+A⁵α₂
=3（${{λ}_{1}}^{5}$α₁）+${{λ}_{2}}^{5}$α₂
=3×2⁵$[\begin{array}{l}{2}\\{1}\end{array}]$+3⁵$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$
=$[\begin{array}{l}{435}\\{339}\end{array}]$．

点评 本题考查矩阵的特征值与特征向量的计算，注意解题方法的积累，属于基础题．