题目内容
【题目】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵；将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[biē nào]．某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室
，
是边长为2的正方形．
（1）若
是等腰三角形，在图2的网格中（每个小方格都是边长为1的正方形）画出堑堵的三视图；
（2）若
，
在
上，证明：
，并回答四面体
是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（3）当阳马
的体积最大时，求点
到平面
的距离．
【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）
【解析】
（1）根据其几何体特征,即可画出其三视图.
（2）证明
,结合
,即可得到
面
,进而可证明
.
（3）阳马
的体积为:
,根据均值不等式可得:
(
取得等号),即可求得.以点
为顶点,以
底面求三棱锥
体积, 在以点
为顶点,以
底面求三棱锥体积.利用等体积法即可求得点到平面
的距离.
（1）画出堑堵的三视图:
（2）
如图,连接
和
.
由题意可知:
面
,
在平面
又
面 故: ,可得
为直角三角形.
由题意可知
,
,
都是直角三角形.
四面体
四个面都是直角三角形,故四面体是鳖臑.
（3）
在
中,
根据均值不等式可得: (取得等号)
由题意可知,
面
阳马的体积为:
(取得等号)
以为顶点,以底面求三棱锥体积:
,设到面
距离为
以为顶点,以底面求三棱锥体积:
解得:
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