Question

【题目】如图，在直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点，设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2．

（1）若，求△AMN的面积；

（2）若k1k2=-2，求证：直线MN过定点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）由题意得到直线AM与AN的方程，利用垂径定理分别求得AM与AN的值，再由两直线垂直，代入三角形面积公式求解；

（2）由题知直线AM的方程y=k1（x+2），直线AN的方程为．分别与圆的方程联立求得M，N的坐标，写出MN的直线方程，利用直线系方程即可证明线MN过定点．

（1）由题知，直线AM的方程为y=2x+4，直线AN的方程为．

∴圆心到直线AM的距离，得，

同理求得，

由题知k1k2=-1，得AN⊥AM，

；

（2）由题知直线AM的方程y=k1（x+2），直线AN的方程为．

联立方程，得，

得x=-2或，

∴，同理，，

∴直线MN为．

即，得，

∴直线MN恒过定点．