题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn,2Sn+2n=an+1﹣2,a2=8,其中n∈N*.
(1)记bn=an+1,求证:{bn}是等比数列;
(2)设为数列{cn}的前n项和,若不等式k>Tn对任意的n∈N*恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)求得首项,运用数列的递推式,结合等比数列的定义,即可得证;
(2)运用等比数列的通项公式,可得c(
)n,由数列的错位相减法可得
,结合不等式恒成立思想可得k的范围.
(1)证明: ,
n=1时,,解得a1=2,
n≥2时,可得
,
两式相减可得,
即有 ,
可得 ,
即有{bn}是首项和公比为3的等比数列;
(2)cn,
=1
2
n,
n=1
2
n+1,
两式相减可得n﹣n
n+1
n+1,
化简可得,
可得,
不等式kTn对任意的n∈N*恒成立,可得
.
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