Question

【题目】已知函数f(x)＝alnx－bx2，a，b∈R.若不等式f(x)≥x对所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，则实数a的取值范围是(　　)

A. [e，＋∞)B. [，＋∞)

C. [，e2)D. [e2，＋∞)

Answer 1

【答案】B

【解析】

将问题逐步进行转化．由题意得到对所有的x∈(e，e2]恒成立，由于b≤0，故只需对任意的x∈(e，e2]恒成立，再进一步转化为alnx≥x，即对任意的x∈(e，e2]恒成立，只需求出函数的最大值即可．

由题意可得bx2≤alnx－x对所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]恒成立，

所以对所有的x∈(e，e2]恒成立．

由于b∈(－∞，0]，

所以对任意的x∈(e，e2]，都有恒成立，

即alnx≥x对所有的x∈(e，e2]恒成立，

所以对所有的x∈(e，e2]恒成立．

令，则h′(x)＝>0，

所以h(x)在区间(e，e2]上单调递增，

故h(x)max＝h(e2)=．

所以a≥.

所以实数a的取值范围是[，＋∞)．

故选B.