题目内容
【题目】交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为
，其范围为
，分别有五个级别：
畅通；
基本畅通；
轻度拥堵；
中度拥堵；
严重拥堵.晚高峰时段（
），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示.
（Ⅰ）用分层抽样的方法从交通指数在
，
，
的路段中共抽取
个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；
（Ⅱ）从（Ⅰ）中抽出的个路段中任取
个，求至少有
个路段为轻度拥堵的概率.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）分别求
，
，
这三个级别的路段，然后求抽样比，再求三个级别抽取的路段的个数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，分别设
个轻度拥堵路段为
，
，选取的
个中度拥堵路段为
，
，
，选取的
个严重拥堵路段为
，然后按照列举法求概率.
（Ⅰ）由直方图可知：
，
，
.
所以这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为6个，9个，3个.
拥堵路段共有
个，按分层抽样从18个路段中选出6个，
每种情况分别为：
，
，
，
即这三个级别路段中分别抽取的个数为.
（Ⅱ）记（Ⅰ）中选取的个轻度拥堵路段为，，选取的个中度拥堵路段为，，，选取的个严重拥堵路段为，则从
个路段选取个路段的可能情况如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共15种可能，
其中至少有个轻度拥堵的有：
，，，，，，，，，共9种可能，所以所选个路段中至少个路段轻度拥堵的概率为：
.
【题目】某工厂过去在生产过程中将污水直接排放到河流中对沿河环境造成了一定的污染，根据环保部门对该厂过去10年的监测数据，统计出了其每年污水排放量
（单位：吨）的频率分布表：
污水排放量 |
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频率 | 0.1 | 0.3 | 0.4 | 0.2 |
将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该厂污水排放量相互独立.
（1）若不加以治理，根据上表中的数据，计算未来3年中至少有2年污水排放量不小于200吨的概率；
（2）根据环保部门的评估，该厂当年污水排放量
时，对沿河环境及经济造成的损失为5万元；当年污水排放量
时，对沿河环境及经济造成的损失为10万元；当年污水排放量
时，对沿河环境及经济造成的损失为20万元；当年污水排放量
时，对沿河环境及经济造成的损失为50万元.为了保护环境，减少损失，该厂现有两种应对方案：
方案1：若该厂不采取治污措施，则需全部赔偿对沿河环境及经济造成的损失；
方案2：若该厂采购治污设备对所有产生的污水净化达标后再排放，则不需赔偿，采购设备的费用为10万元，每年设备维护等费用为15万元，该设备使用10年需重新更换.在接下来的10年里，试比较上述2种方案哪种能为该厂节约资金，并说明理由.
【题目】某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：
（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
（1）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”，经数据 处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有
的把握认为“健身达人”与性别有关？
健身达人 | 非健身达人 | 总计 | |
男 | 10 | ||
女 | 30 | ||
总计 |
（2）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特别推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为
，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.
若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
（3）在（2）中的方案二中，金额超过800元可抽奖三次，假设三次中奖结果互不影响，且三次中奖的概率为
，记
为锐角
的内角，
求证：
附：
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