题目内容
【题目】已知椭圆的上顶点为
,以
为圆心椭圆的长半轴为半径的圆与
轴的交点分别为
,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设不经过点的直线
与椭圆
交于
,
两点,且
,试探究直线
是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标,若不过定点,请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线过定点,该定点的坐标为
【解析】
利用椭圆性质,求椭圆的方程;根据题中要求,先将直线QA,PA方程设出来,再与椭圆联立方程,分别求出Q,P两点坐标,根据P,Q写出直线方程l,然后分析它的定点问题
解:(1)依题意知点的坐标为
,则以点
圆心,以
为半径的圆的方程为
令
得
,由圆
与
轴的交点分别为
,
,
可得,解得
,故所求椭圆
的标准方程为
.
(2)由得
,可知
的斜率存在且不为
.
设直线①,则
②.
将①代入椭圆方程并整理,得,可得
,则
同理,可得,
.
由直线方程的两点式,得直线的方程为
,即直线
过定点,该定点的坐标为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额,健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额,分组如下:(单位:元),得到如图所示的频率分布直方图:
(1)若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户,称为“健身达人”,经数据 处理,现在列联表中得到一定的相关数据,请补全空格处的数据,并根据列联表判断是否有的把握认为“健身达人”与性别有关?
健身达人 | 非健身达人 | 总计 | |
男 | 10 | ||
女 | 30 | ||
总计 |
(2)为吸引顾客,在健身项目之外,该健身馆特别推出健身配套营养品的销售,现有两种促销方案.
方案一:每满800元可立减100元;
方案二:金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率为,且每次抽奖互不影响,中奖1次打9折,中奖2次打8折,中奖3次打7折.
若某人打算购买1000元的营养品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
(3)在(2)中的方案二中,金额超过800元可抽奖三次,假设三次中奖结果互不影响,且三次中奖的概率为,记
为锐角
的内角,
求证:
附:
【题目】2018年,南昌市召开了全球VR产业大会,为了增强对青少年VR知识的普及,某中学举行了一次普及VR知识讲座,并从参加讲座的男生中随机抽取了50人,女生中随机抽取了70人参加VR知识测试,成绩分成优秀和非优秀两类,统计两类成绩人数得到如下的列联表:
优秀 | 非优秀 | 总计 | |
男生 | a | 35 | 50 |
女生 | 30 | d | 70 |
总计 | 45 | 75 | 120 |
(1)确定a,d的值;
(2)试判断能否有90%的把握认为VR知识的测试成绩优秀与否与性别有关;
(3)为了宣传普及VR知识,从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法,随机选出6名组成宣传普及小组.现从这6人中随机抽取2名到校外宣传,求“到校外宣传的2名同学中至少有1名是男生”的概率.
附:
P(K2≥k0) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |