题目内容

2.已知F1,F2分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是(  )
A.$({1,1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}})$B.$({1+\frac{{\sqrt{2}}}{2},+∞})$C.$({1,1+\sqrt{2}})$D.$({1+\sqrt{2},+∞})$

分析 由过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABC为等腰三角形,△ABF2为锐角三角形只要∠AF2B为锐角即可,由此可知$\frac{{b}^{2}}{a}$<2c,从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围.

解答 解:根据题意,易得AB=2$\frac{{b}^{2}}{a}$,F1F2=2c,
由题设条件可知△ABF2为等腰三角形,
只要∠AF2B为锐角,即AF1<F1F2即可;
∴有$\frac{{b}^{2}}{a}$<2c,
即2ac>c2-a2
解出e∈(1,1+$\sqrt{2}$),
故选:C.

点评 本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断,在解题过程中要注意隐含条件的运用,是基础题.

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