Question

2．已知F₁，F₂分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF₂是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． $（{1，1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$
• B． $（{1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞}）$
• C． $（{1，1+\sqrt{2}}）$
• D． $（{1+\sqrt{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 由过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABC为等腰三角形，△ABF₂为锐角三角形只要∠AF₂B为锐角即可，由此可知$\frac{{b}^{2}}{a}$＜2c，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：根据题意，易得AB=2$\frac{{b}^{2}}{a}$，F₁F₂=2c，
由题设条件可知△ABF₂为等腰三角形，
只要∠AF₂B为锐角，即AF₁＜F₁F₂即可；
∴有$\frac{{b}^{2}}{a}$＜2c，
即2ac＞c²-a²，
解出e∈（1，1+$\sqrt{2}$），
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的运用，是基础题．