题目内容
17．已知椭圆的左右两个焦点分别为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF2，|PF1|=2，|PF2|=4．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l过圆x2+y2+4x-2y-4=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程；
（3）若以椭圆的长轴为直径作圆N，T为该圆N上异于长轴端点的任意点，再过原点O作直线TF2 的垂线交椭圆的右准线交于点Q，试判断直线TQ与圆N的位置关系，并给出证明．
分析 （1）运用椭圆的定义可得2a=6，即a=3，再由勾股定理可得c，再由a，b，c的关系，可得b，即可得到椭圆方程；
（2）设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），设出AB的方程，代入椭圆方程，由韦达定理和中点坐标公式，解方程可得k，进而得到直线AB的方程；
（3）直线TQ与圆N相切．求得椭圆的右焦点和右准线，运用斜率公式，垂直的条件：斜率之积为-1，即可得到结论．
解答 解：（1）设$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），因为点P在椭圆C上，
所以2a=|PF1|+|PF2|=6，
解得a=3，
在直角△PF1F2中，|F1F2|=$\sqrt{|P{F}_{2}{|}^{2}+|P{F}_{1}{|}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故椭圆的半焦距c=$\sqrt{5}$，
从而b2=a2-c2=9-5=4，
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
由圆的方程为（x+2）2+（y-1）2=9，所以圆心M的坐标为（-2，1），
从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得
（5+9k2）x2+18（2k2+k）x+36（k2+k-1）=0，
因为A，B关于点M对称．所以$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{9（2{k}^{2}+k）}{5+9{k}^{2}}$=-2，
解得k=$\frac{10}{9}$，
所以直线l的方程为y=$\frac{10}{9}$（x+2）+1，
即10x-9y+29=0．（经检验，符合题意）．
（3）直线TQ与圆N相切．证明如下：易得椭圆右焦点为F2（$\sqrt{5}$，0），右准线为x=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．
设点T（x0，y0），则有x02+y02=9，又${k}_{T{F}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-\sqrt{5}}$，kOQ=-$\frac{{x}_{0}-\sqrt{5}}{{y}_{0}}$，
∴直线OQ的方程为y=-$\frac{{x}_{0}-\sqrt{5}}{{y}_{0}}$x，令x=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，得y=-$\frac{9\sqrt{5}（{x}_{0}-\sqrt{2}）}{5{y}_{0}}$，
即Q（$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{9\sqrt{5}（{x}_{0}-\sqrt{2}）}{5{y}_{0}}$），
所以kTQ=$\frac{{y}_{0}+\frac{9\sqrt{5}（{x}_{0}-\sqrt{5}）}{5{y}_{0}}}{{x}_{0}-\frac{9\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{5{{y}_{0}}^{2}+9\sqrt{5}（{x}_{0}-\sqrt{5}）}{{y}_{0}（5{x}_{0}-9\sqrt{5}）}$=$\frac{5（9-{{x}_{0}}^{2}）+9\sqrt{5}（{x}_{0}-\sqrt{5}）}{{y}_{0}（5{x}_{0}-9\sqrt{5}）}$=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
又kOT=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，于是有kOT•kTQ=-1，
故OT⊥TQ，∴直线TQ与圆N相切．
点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，同时考查直线和圆的位置关系的判断，考查运算能力，属于中档题．
| A． | $1+\frac{ln2}{2}$ | B． | $1-\frac{ln2}{2}$ | C． | $2\sqrt{e}-1$ | D． | $\sqrt{e}-1$ |
函数f（x）=Acos（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示，把函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，BC=4，AA1=3，沿该长方体对角面ABC1D1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为114．
| A． | $（{1，1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$ | B． | $（{1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞}）$ | C． | $（{1，1+\sqrt{2}}）$ | D． | $（{1+\sqrt{2}，+∞}）$ |
| A． | $\frac{127}{64}$ | B． | $\frac{511}{256}$ | C． | $\frac{1023}{512}$ | D． | $\frac{511}{512}$ |