Question

12．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，B=$\frac{π}{3}$，cosA=$\frac{4}{5}$，b=$\sqrt{3}$
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可得C=$\frac{2π}{3}$-A，sinA=$\frac{3}{5}$，从而利用两角差的正弦函数公式可求sinC．
（2）由（1）及正弦定理可求得a=$\frac{bsinA}{sinB}$的值，从而根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，B=$\frac{π}{3}$，cosA=$\frac{4}{5}$，
∴C=$\frac{2π}{3}$-A，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴sinC=sin（$\frac{2π}{3}$-A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$．
（2）由（1）可知，sinA=$\frac{3}{5}$，sinC=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$．
又∵B=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$，
∴在三角形ABC中，由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{6}{5}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\frac{6}{5}×$$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$×$\sqrt{3}$=$\frac{36+9\sqrt{3}}{50}$．

点评 本题主要考查了两角差的正弦函数公式，正弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．