题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是直角梯形,
,
,
底面
,点
为棱
的中点.
.
证明:
平面
.
若
为棱
上一点,满足
,求二面角
的余弦值.
【答案】证明见解析;
.
【解析】
在
上找中点
,连接
,
,利用三角形中位线性质得出
,因为底面
是直角梯形,
,所以能得出
平行且等于
,得出四边形
为平行四边形,再利用线面平行的判定,即可证出
平面
;
根据
,求出向量
的坐标,进而求出平面
和平面
的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角
的余弦值.
解:证明:在
上找中点
,连接
,
,图象如下:
和
分别为
和
的中点,
,且
,
又底面
是直角梯形,
,且
,
且
.即四边形
为平行四边形.
.
平面
,
平面
,
平面
.
以
为原点,以
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
可得,
,
,
,
,
,
,
.
由为棱
上一点,设
,
所以,
由,得
,
解得,
即,
,
设平面的法向量为
,
由可得
所以,令
,则
,则
,
取平面的法向量为
,
则二面角的平面角
满足:
,
故二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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