题目内容

【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.

(1) 证明:PB∥平面AEC

(2) 设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积

【答案】

【解析】试题分析:()连接BDACO点,连接EO,只要证明EO∥PB,即可证明PB∥平面AEC;()延长AEM连结DM,使得AM⊥DM,说明∠CMD=60°,是二面角的平面角,求出CD,即可三棱锥E-ACD的体积

试题解析:(1)证明:连接BDAC于点O,连接EO.

因为ABCD为矩形,所以OBD的中点.

EPD的中点,所以EO∥PB.

因为EO平面AECPB平面AEC

所以PB∥平面AEC.

(2)因为PA⊥平面ABCDABCD为矩形,

所以ABADAP两两垂直.

如图,以A为坐标原点, ADAP的方向为xyz轴的正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系Axyz,则DE.

B(m00)(m>0),则C(m0)(m0)

n1(xyz)为平面ACE的法向量,

可取n1.

n2(100)为平面DAE的法向量,

由题设易知|cosn1n2|,即

,解得m.

因为EPD的中点,所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V××××.

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