题目内容
【题目】过点作抛物线
的两条切线, 切点分别为
,
.
(1) 证明: 为定值;
(2) 记△的外接圆的圆心为点
, 点
是抛物线
的焦点, 对任意实数
, 试判断以
为直径的圆是否恒过点
? 并说明理由.
【答案】(I)详见解析;(II)详见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)对 求导,得到直线
的斜率为
,进一步得到直线
的方程为
. 将点点
代入直线
方程,整理得
.
同理, . 又
, 所以
为定值.
(Ⅱ)由题意可得)直线的垂直平分线方程为
. ①
同理直线的垂直平分线方程为
. ②
由①②解得点. 又 抛物线
的焦点为
则
由
, 可得
所以以
为直径的圆恒过点
试题解析:
(Ⅰ) 法1:由,得
,所以
. 所以直线
的斜率为
.
因为点和
在抛物线
上, 所以
,
.
所以直线的方程为
.
因为点在直线
上,
所以,即
.
同理, .
所以是方程
的两个根.
所以.
又,
所以为定值.
法2:设过点且与抛物线
相切的切线方程为
,
由消去
得
,
由, 化简得
.
所以.
由,得
,所以
.
所以直线的斜率为
,直线
的斜率为
.
所以, 即
.
又,
所以为定值.
(Ⅱ) 法1:直线的垂直平分线方程为
,
由于,
,
所以直线的垂直平分线方程为
. ①
同理直线的垂直平分线方程为
. ②
由①②解得,
,
所以点.
抛物线的焦点为
则
由于,
所以
所以以为直径的圆恒过点
另法: 以为直径的圆的方程为
把点代入上方程,知点
的坐标是方程的解.
所以以为直径的圆恒过点
法2:设点的坐标为
,
则△的外接圆方程为
,
由于点在该圆上,
则,
.
两式相减得, ①
由(Ⅰ)知,代入上式得
,
当时, 得
, ②
假设以为直径的圆恒过点
,则
即
,
得, ③
由②③解得,
所以点.
当时, 则
,点
.
所以以为直径的圆恒过点
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