Question

20．已知函数f（x）=x²+$\frac{a}{x}$，若函数f（x）在x∈[2，+∞]上是单调递增的，则实数a的取值范围为（　　）

• A． a＜8
• B． a≤16
• C． a＜-8或a＞8
• D． a≤-16或a≥16

Answer 1

分析 函数f（x）在x∈[2，+∞）单调递增，得出f′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立；求出a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=x²+$\frac{a}{x}$在x∈[2，+∞）上单调递增，
∴f′（x）=2x-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{3}-a}{{x}^{2}}$≥0在x∈[2，+∞）上恒成立；
∴2x³-a≥0，
∴a≤2x³在x∈[2，+∞）上恒成立，
∴a≤2×2³=16
∴实数a的取值范围为a≤16．
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，是基础题目．