Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（（$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{c}$）=0，则|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{7}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为60°，结合|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2设出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的坐标，同时设出$\overrightarrow{c}$的坐标，代入（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（（$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{c}$）=0求得$\overrightarrow{c}$的终点的轨迹，然后由|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的几何意义结合点到直线的距离得答案．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2，得cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
不妨设$\overrightarrow{a}=（2，0）$，则$\overrightarrow{b}=（1，\sqrt{3}）$，
再设$\overrightarrow{c}=（x，y）$，由（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{c}$）=0，得$（2-x，-y）•（1-2x，\sqrt{3}-2y）=0$，
整理得：$（x-\frac{5}{4}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}=\frac{3}{4}$．
∴（x，y）在以（$\frac{5}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}$）为圆心，以$\frac{\sqrt{3}}{2}$为半径的圆上，
而|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|表示的是点（x，y）到点（1，$\sqrt{3}$）的距离d．
∴d_min=$\sqrt{（1-\frac{5}{4}）^{2}+（\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了向量的数量积运算、点与圆上的点的距离，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．