题目内容
【题目】己知函数,它的导函数为
.
(1)当时,求
的零点;
(2)若函数存在极小值点,求
的取值范围.
【答案】(1)是
的零点;(2)
【解析】
(1)求得时的
,由单调性及
求得结果.
(2)当时,
,易得
存在极小值点,再分当
时和当
时,令
,通过研究
的单调性及零点情况,得到
的零点及分布的范围,进而得到
的极值情况,综合可得结果.
(1)的定义域为
,
当时,
,
.
易知为
上的增函数,
又,所以
是
的零点.
(2),
① 当时,
,令
,得
;令
,得
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,符合题意.
令,则
.
② 当时,
,所以
在
上单调递增.
又,
,
所以在
上恰有一个零点
,且当
时,
;当
时,
,所以
是
的极小值点,符合题意.
③ 当时,令
,得
.
当)时,
;当
时,
,
所以.
若,即当
时,
恒成立,
即在
上单调递增,无极值点,不符合题意.
若,即当
时,
,
所以,即
在
上恰有一个零点
,且当
时,
;当
时,
,
所以是
的极小值点,符合题意.
综上,可知,即
的取值范围为
.
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