Question

11．下列四个结论正确的序号是②③．（填上所有正确的序号）
①函数y=xsinx在区间（0，π）内无最大值；
②数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ（n∈N^*），对任意的正整数n总存在正整数m，使得 S_n=a_m；
③若方程$\frac{{|{sinx}|}}{x}$=k（k＞0）有且仅有两个不同的实数根x₁，x₂（x₂＞x₁），则sinx₁+x₁cosx₂=0．

Answer 1

分析 ①在（0，π）上通过研究单调性的变化即可获得问题的解答；
②利用“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，当n=1时，a₁=S₁”即可得到a_n，即可得出结论；
③通过数形结合即得结论．

解答 解：①∵y=xsinx，∴y′=sinx+xcosx=$\sqrt{1+{x}^{2}}$sinx（x+θ），其中tanθ=x，
∴存在x=x₀使得y′=0，
易得当0＜x＜x₀时，y′＞0；当x₀＜x＜π时，y′＜0；
故函数y=xsinx在区间（0，π）内存在最大值，故①不正确；
②∵数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1；当n=1时，a₁=S₁=2；
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{{2}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴对任意的正整数n总存在正整数m，使得 S_n=a_m，故②正确；
③依题意可知x＞0，令y₁=|sinx|，y₂=kx，如图．
∵原方程有且只有两个解，
∴所以y₂与y₁仅有两个交点，
且第二个交点是y₁和y₂相切的点，即点（x₂，|sinx₂|）为切点，
∵（-sinx₂）′=-cosx₂，∴切线的斜率k=-cosx₂，
而且点（x₁，sinx₁）在切线y₂=kx=-cosx₂x上，
于是将点（x₁，sinx₁）代入切线方程y₂=xcosx₂，可得：sinx₁=-x₁cosx₂，故③正确；
故答案为：②③．

点评 本题考查函数的最值、数列的通项及求和、函数的交点问题，注意解题方法的积累，属于中档题．