题目内容
19．已知周长为16的△ABC的两顶点与椭圆M的两个焦点重合，另一个顶点恰好在椭圆M上，则下列椭圆中符合椭圆M条件的是（ ）| A． | $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ | B． | $\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1 | C． | $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1 | D． | $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1 |
分析 设△ABC的两顶点A，B与椭圆的两焦点重合，顶点C在椭圆上，运用椭圆的定义可得|AB|+|AC|+|BC|=2c+2a=16，对选项一一加以判断，即可得到答案．
解答 解：设△ABC的两顶点A，B与椭圆的两焦点重合，顶点C在椭圆上，
由题意可得|AB|+|AC|+|BC|=2c+2a=16，
对于A，a=5，b=4，c=3，即有|AB|+|AC|+|BC|=2×3+2×5=16，满足条件，则A成立；
对于B，a=5，b=3，c=4，即有|AB|+|AC|+|BC|=2×4+2×5=18≠16，不满足条件，则B不成立；
对于C，a=4，b=3，c=$\sqrt{7}$，即有|AB|+|AC|+|BC|=2×$\sqrt{7}$+2×4≠16，不满足条件，则C不成立；
对于D，a=3，b=2，c=$\sqrt{5}$，即有|AB|+|AC|+|BC|=2×$\sqrt{5}$+2×3≠16，不满足条件，则D不成立．
故选：A．
点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．
练习册系列答案
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如图所示的几何体中，四边形ABCD与DBFE均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．AC与BD相交于O．
7．已知椭圆C1的方程为：$\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}=1$，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）
| A． | $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ | B． | $\frac{x^2}{169}-\frac{y^2}{144}=1$ | C． | $\frac{x^2}{169}-\frac{y^2}{25}=1$ | D． | $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ |
14．已知曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1和ax+by+1=0（ab≠0），在同一坐标系中它们的图形可能是（ ）
| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |
4．椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的离心率等于（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D． | 2 |