Question

1．圆锥SO的侧面展开图为如图所示的半径为4的半圆，半圆中∠ASC=45°．

①圆锥SO的体积；
②在圆锥母线SC上是否存在一点E，使得SC⊥平面OEA，若存在，求此时SE～EC的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 ①由题意，圆锥底面半径为2，高$2\sqrt{3}$，即可求圆锥SO的体积；
②若在圆锥母线SC上存在一点E，使得SC⊥平面OEA，只需使SC⊥OE即可．

解答 解：①由题意，圆锥底面半径为2，高$2\sqrt{3}$，
∴$V=\frac{1}{3}×4π×2\sqrt{3}=\frac{{8\sqrt{3}π}}{3}$…（3分）
②若在圆锥母线SC上存在一点E，使得SC⊥平面OEA，
∵OA⊥OC，SO⊥OA，
∴AO⊥面SOC，∴AO⊥SC，
则只需使SC⊥OE即可；…（5分）
在Rt△SOC中可求得此时SE=3，EC=1，在圆锥母线SC上存在一点E，
当SE：EC=3：1时，使得SC⊥平面OEA．…（8分）

点评 本题考查圆锥体积的计算，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．