Question

10．已知AC=BC=$\sqrt{2}$，CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB=BE=EA=2，CD⊥面ABC，面ABE⊥面ABC．
（1）求证：AB⊥面CDE；
（2）求二面角A-DE-B所成角的余弦值；
（3）在线段AE上是否存在点P使CP⊥BE，若存在，确定P点位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点M，连接EM，CM．由正三角形的性质可得：EM⊥AB．又CM⊥AB，可得AB⊥平面CME，AB⊥EC．由线面垂直的性质可得：DC⊥AB，即可证明．
（2）由勾股定理逆定理可得：AC⊥BC．以点C为原点，CA，CB，CD分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面ADE的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，设$\overrightarrow{m}$为平面BDE的法向量，利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$，利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．
（3）设$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AE}$=$（-\frac{\sqrt{2}}{2}λ，\frac{\sqrt{2}}{2}λ，\sqrt{3}λ）$，可得$\overrightarrow{CP}$，由$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{BE}$=0，解出λ即可判断出．

解答 （1）证明：取AB的中点M，连接EM，CM．
∵△ABE为正三角形，
∴EM⊥AB．
又AC=BC，∴CM⊥AB，EM∩MC=M，
∴AB⊥平面CME．AB⊥EC，
∵CD⊥面ABC，
∴DC⊥AB，EC∩DC=C，
∴AB⊥面CDE．
（2）解：∵AC=BC=$\sqrt{2}$，AB=2，∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．
以点C为原点，CA，CB，CD分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，D$（0，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，A$（\sqrt{2}，0，0）$，B$（0，\sqrt{2}，0）$，M$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，0）$，
E$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{3}）$．$\overrightarrow{AD}$=$（-\sqrt{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{DE}$=$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$.$\overrightarrow{BD}$=$（0，-\sqrt{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面ADE的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=$（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{3\sqrt{3}}{2}，\sqrt{2}）$，
设$\overrightarrow{m}$为平面BDE的法向量，利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$=$（-\frac{3\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{2}）$，
∵$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{5}{19}$，∴二面角A-DE-B所成角的余弦值为$\frac{5}{19}$．
（3）假设$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AE}$=$（-\frac{\sqrt{2}}{2}λ，\frac{\sqrt{2}}{2}λ，\sqrt{3}λ）$，
∴$\overrightarrow{CP}$=$（\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}λ，\frac{\sqrt{2}}{2}λ，\sqrt{3}λ）$，$\overrightarrow{BE}$=$（\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{3}）$，
由$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{BE}$=1-$\frac{1}{2}λ$-$\frac{1}{2}λ$+3λ=0，解得λ=$-\frac{1}{2}$，
∴在线段AE上不存在点P使CP⊥BE．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、利用法向量夹角求空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．