题目内容

20.如图,已知四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,且SD=4,E为侧棱SC的中点.
(1)求证:SA∥平面EDB;
(2)求二面角E-DB-C余弦值的大小.

分析 (1)根据线面平行的判定定理即可证明SA∥平面EDB;
(2)建立空间坐标系,利用向量法即可求二面角E-DB-C余弦值的大小.

解答 证明:(1)连接AC交BD于0,
连接OE,
∵E为侧棱SC的中点,0是AC的中点,
∴OE∥SA,
∵SA?平面EDB,OE?平面EDB;
∴SA∥平面EDB.
解:(2)∵侧棱SD⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,
∴以D为坐标原点,以DA,DC,DS分别为x,y,z轴,建立空间坐标系如图:
则A(2,0,0),D(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0)
S(0,0,4),E(0,1,2),
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\overrightarrow{DB}$=(2,2,0),$\overrightarrow{DE}$=E(0,1,2),
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{y+2z=0}\end{array}\right.$,
令z=1,则y=-2,x=2,
即$\overrightarrow{n}$=(2,-2,1),
平面DBC的法向量为$\overrightarrow{m}$=(0,0,1)
则cos<$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{{2}^{2}+(-2)^{2}+1}×1}=\frac{1}{\sqrt{9}}$=$\frac{1}{3}$;
即二面角E-DB-C余弦值的大小为$\frac{1}{3}$.

点评 本题考查了直线和平面平行的判定定理,考查了法向量、空间向量在立体几何中的应用和二面角的求法,考查了空间想象能力和推理论证能力.

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