Question

1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于$\frac{1}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线x²=8$\sqrt{3}$y的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P（2，3），Q（2，-3）在椭圆上，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．
①若直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B运动时，满足于∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，椭圆一个顶点恰好是抛物线x²=8$\sqrt{3}$y的焦点，可得出椭圆半短轴的长，再由$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}，{a^2}={c^2}+{b^2}$，即可求出a的值，从而得出椭圆的方程；
（Ⅱ）①设直线AB的方程，将直线方程和椭圆方程联立，通过消元，转化为一元二次方程去解决，求出弦AB的长，进而求出四边形的面积函数，求出面积的最大值，
②．当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2），将其与椭圆方程联立整理得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0，可得${x_1}+2=\frac{8（2k-3）k}{{3+4{k^2}}}$，同理PB的直线方程为y-3=-k（x-2），可得${x_2}+2=\frac{8k（2k+3）}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}+{x_2}=\frac{{16{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}-{x_2}=\frac{-48k}{{3+4{k^2}}}$，${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{k（{x_1}+{x_2}）-4k}}{{{x_1}-{x_2}}}$，化简即可求得AB的斜率为定值．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$椭圆的一个顶点恰好是抛物线x²=8$\sqrt{3}$y的焦点，可知$b=2\sqrt{3}$．
又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}，{a^2}={c^2}+{b^2}$，解得a=4，c=2，
∴椭圆C的方程是$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．
（II）①解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为$y=\frac{1}{2}x+t$，代入$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，
得x²+tx+t²-12=0由△＞0，解得-4＜t＜4
由韦达定理得${x_1}+{x_2}=-t，{x_1}{x_2}={t^2}-12$． 
四边形APBQ的面积$S=\frac{1}{2}×6×|{{x_1}-{x_2}}|=3\sqrt{48-3{t^2}}$
∴当t=0，${S_{max}}=12\sqrt{3}$．
②解：当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k
则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}y-3=k（x-2）…（1）\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1…（2）\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0，可得${x_1}+2=\frac{8（2k-3）k}{{3+4{k^2}}}$，
同理PB的直线方程为y-3=-k（x-2），可得${x_2}+2=\frac{8k（2k+3）}{{3+4{k^2}}}$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{16{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}-{x_2}=\frac{-48k}{{3+4{k^2}}}$，
∴${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{k（{x_1}+{x_2}）-4k}}{{{x_1}-{x_2}}}$，将${x_1}+{x_2}=\frac{{16{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}-{x_2}=\frac{-48k}{{3+4{k^2}}}$代入，化简可求得AB的斜率为$\frac{1}{2}$，是定值．

点评 本题考查椭圆的性质以及抛物线的性质，直线与椭圆的综合问题，解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程求出面积函数以及表示出AB的斜率，此类题有一特点即为将直线与椭圆联立，解答中要注意全运会本题中所蕴含的规律．