Question

7．已知函数f（x）=x³-x²+mx+2，若对任意x₁，x₂∈R，均满足（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，则实数m的取值范围是[$\frac{1}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 由函数的单调性的定义可得函数f（x）在R上为增函数，即有f′（x）≥0在R上恒成立．由二次不等式恒成立问题的解法，可得m的不等式，即可得到范围．

解答 解：对任意x₁，x₂∈R，均满足（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，
即函数f（x）在R上为增函数，
即有f′（x）≥0在R上恒成立．
由f（x）=x³-x²+mx+2的导数为f′（x）=3x²-2x+m，
由3x²-2x+m≥0恒成立，
可得判别式△=4-12m≤0，
解得m≥$\frac{1}{3}$，
则所求m的范围是[$\frac{1}{3}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 本题考查函数的单调性的判断，主要考查运用导数判断单调性，同时考查二次不等式恒成立问题的解法，属于中档题和易错题．