题目内容
18．已知某人投篮投中的概率为$\frac{1}{3}$，该人四次投篮实验，且每次投篮相互独立，设ξ表示四次实验结束时投中次数与没有投中次数之差的绝对值．（1）求随机变量ξ的数学期望E（ξ）；
（2）记“函数f（x）=x2-ξx-1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．
分析 （1）随机变量ξ的可能取值为0，2，4，求出相应的概率，根据数学期望公式解之即可；
（2）根据函数f（x）=x2-ξx-1在区间（2，3）上有且只有一个零点可求出ξ的取值，从而求出事件A发生的概率．
解答 解：（1）由题意，ξ的取值为0，2，4．
P（ξ=0）=C42（$\frac{1}{3}$）2（1-$\frac{1}{3}$）2=$\frac{24}{81}$，P（ξ=2）=C43（$\frac{1}{3}$）3（1-$\frac{1}{3}$）+C41（$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{3}$）3=$\frac{40}{81}$，
P（ξ=4）=C44（$\frac{1}{3}$）4+C40（1-$\frac{1}{3}$）4=$\frac{17}{81}$，
∴Eξ=0×$\frac{24}{81}$+2×$\frac{40}{81}$+4×$\frac{17}{81}$=$\frac{148}{81}$；
（2）由题意，f（2）f（3）=（3-2ξ）（8-3ξ）＜0，∴$\frac{3}{2}$＜ξ＜$\frac{8}{3}$，
∴P（A）=P（$\frac{3}{2}$＜ξ＜$\frac{8}{3}$）=P（ξ=2）=$\frac{40}{81}$．
点评 本题主要考查了函数零点，以及离散型随机变量及其分布列和数学期望，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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9．
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（单位cm3）．
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（单位cm3）．| A． | $\frac{7}{12}π$ | B． | $\frac{7π}{3}$ | C． | $2\sqrt{2}π$ | D． | 3π |
6．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1-{5^{-x}}，（x≥0）\\{5^x}-1．（x＜0）\end{array}$，则下列结论正确的是（ ）
| A． | 函数f（x）在其定义域内为增函数且是奇函数 | |
| B． | 函数f（x）在其定义域内为增函数且是偶函数 | |
| C． | 函数f（x）在其定义域内为减函数且是奇函数 | |
| D． | 函数f（x）在其定义域内为将函数且是偶函数 |
10．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
| A． | f（x）sinx为奇函数 | B． | f（x）+cosx为偶函数 | ||
| C． | g（x）sinx为为偶函数 | D． | g（x）+cosx为偶函数 |