Question

18．已知某人投篮投中的概率为$\frac{1}{3}$，该人四次投篮实验，且每次投篮相互独立，设ξ表示四次实验结束时投中次数与没有投中次数之差的绝对值．
（1）求随机变量ξ的数学期望E（ξ）；
（2）记“函数f（x）=x²-ξx-1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．

Answer 1

分析 （1）随机变量ξ的可能取值为0，2，4，求出相应的概率，根据数学期望公式解之即可；
（2）根据函数f（x）=x²-ξx-1在区间（2，3）上有且只有一个零点可求出ξ的取值，从而求出事件A发生的概率．

解答 解：（1）由题意，ξ的取值为0，2，4．
P（ξ=0）=C₄²（$\frac{1}{3}$）²（1-$\frac{1}{3}$）²=$\frac{24}{81}$，P（ξ=2）=C₄³（$\frac{1}{3}$）³（1-$\frac{1}{3}$）+C₄¹（$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{3}$）³=$\frac{40}{81}$，
P（ξ=4）=C₄⁴（$\frac{1}{3}$）⁴+C₄⁰（1-$\frac{1}{3}$）⁴=$\frac{17}{81}$，
∴Eξ=0×$\frac{24}{81}$+2×$\frac{40}{81}$+4×$\frac{17}{81}$=$\frac{148}{81}$；
（2）由题意，f（2）f（3）=（3-2ξ）（8-3ξ）＜0，∴$\frac{3}{2}$＜ξ＜$\frac{8}{3}$，
∴P（A）=P（$\frac{3}{2}$＜ξ＜$\frac{8}{3}$）=P（ξ=2）=$\frac{40}{81}$．

点评 本题主要考查了函数零点，以及离散型随机变量及其分布列和数学期望，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．