题目内容
17.若变量x,y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤8}\\{2y-x≤4}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$,且z=4y-x的最大值为a,最小值为b,则a+b的值是( )A. | 10 | B. | 20 | C. | 4 | D. | 12 |
分析 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.
解答 解:由z=4y-x得y=$\frac{1}{4}x+\frac{z}{4}$,
作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):
平移直线y=$\frac{1}{4}x+\frac{z}{4}$,
由图象可知当直线y=$\frac{1}{4}x+\frac{z}{4}$,经过点A时,直线y=$\frac{1}{4}x+\frac{z}{4}$的截距最大,此时z最大,
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=8}\\{2y-x=4}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$,即A(4,4).
代入目标函数z=4y-x,
得z=4×4-4=12.即a=12,
经过点C时,直线y=$\frac{1}{4}x+\frac{z}{4}$的截距最小,此时z最小,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{x+y=8}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=0}\end{array}\right.$,即C(8,0).
代入目标函数z=4y-x=-8,即B=-8,
则a+b=12-8=4,
故选:C.
点评 本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.
练习册系列答案
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A. | $\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{3}}}{2}$ | B. | $\sqrt{6}+\sqrt{3}$ | C. | $\frac{{\sqrt{5+2\sqrt{2}}}}{2}$ | D. | $\sqrt{5+2\sqrt{2}}$ |