题目内容
19.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足3Sn=an-1.(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{1-{a}_{n}}$,数列{bn}前n项的和为Tn,证明:Tn<$\frac{1}{3}$.
分析 (Ⅰ)通过3Sn=an-1,可得首项a1=-$\frac{1}{2}$,3Sn-3Sn-1=an-an-1,即an=$-\frac{1}{2}{a_{n-1}}$,计算即可;
(Ⅱ)通过${a_n}={(-\frac{1}{2})^n}$,利用放缩法、等比数列的求和公式计算即可.
解答 解:(Ⅰ)由3Sn=an-1,得a1=S1=-$\frac{1}{2}$,
当n≥2时,3Sn-1=an-1-1,
两式相减得3Sn-3Sn-1=an-an-1,即an=$-\frac{1}{2}{a_{n-1}}$,
∴数列{an}是首项a1=-$\frac{1}{2}$,公式q=-$\frac{1}{2}$的等比数列,
∴${a_n}={(-\frac{1}{2})^n}$;
(Ⅱ)∵${a_n}={(-\frac{1}{2})^n}$,${b_n}=\frac{{\frac{1}{4^n}}}{{1-{{(-\frac{1}{2})}^n}}}=\frac{1}{{{4^n}-{{(-2)}^n}}}≤\frac{1}{{3•{2^n}}}$,
∴Tn=b1+b2+…bn
$≤\frac{1}{3•2}+\frac{1}{{3•{2^2}}}+…+\frac{1}{{3•{2^n}}}=\frac{1}{3}•\frac{{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^2})}}{{1-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{2^n})<\frac{1}{3}$.
点评 本题考查求数列的通项、判定和的范围,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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