已知函数f(x)=$\frac{1}{3}{x^3}+2{x^2}$+2x.若存在满足0≤x0≤3的实数x0.使得曲线y=f(x)在点(x0.f(x0))处的切线与直线x+my-10=0垂直.则实数m的取值范围是( )A．[6.+∞)B．(-∞.2]C．[2.6]D．[5.6] 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+2{x^2}$+2x，若存在满足0≤x₀≤3的实数x₀，使得曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线与直线x+my-10=0垂直，则实数m的取值范围是（三分之一前有一个负号）（　　）

A．

[6，+∞）

B．

（-∞，2]

C．

[2，6]

D．

[5，6]

分析求出函数的导数，求出切线的斜率，再由两直线垂直斜率之积为-1，得到4x₀-x₀²+2=m，再由二次函数求出最值即可．

解答解：函数f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+2{x^2}$+2x的导数为f′（x）=-x²+4x+2．
曲线f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线斜率为4x₀-x₀²+2，
由于切线垂直于直线x+my-10=0，则有4x₀-x₀²+2=m，
由于0≤x₀≤3，由4x₀-x₀²+2=-（x₀-2）²+6，
对称轴为x₀=2，
当且仅当x₀=2，取得最大值6；
当x₀=0时，取得最小值2．
故m的取值范围是[2，6]．
故选：C．

点评本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率，考查两直线垂直的条件和二次函数最值的求法，属于中档题．

练习册系列答案

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9．

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁C∥平面AB₁D；
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8．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的焦点与双曲线$\frac{x^2}{6}-{y^2}$=1的焦点重合，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，若|AB|=5
（1）求椭圆的方程；
（2）已知F₁为椭圆的左焦点，求△ABF₁的面积．

5．在平行四边形ABCD中，若|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$|=|$\overrightarrow{DA}$+$\overrightarrow{DC}$|，则四边形ABCD为（　　）

12．设圆C：（x-1）²+（y-2）²=$\frac{20}{9}$，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，与x轴交于点P，若点A恰好为BP的中点，则直线l的方程为x+2y-5=0或 x-2y+3=0．

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9．

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）（单位cm³）．

6．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1-{5^{-x}}，（x≥0）\\{5^x}-1．（x＜0）\end{array}$，则下列结论正确的是（　　）

	A．	函数f（x）在其定义域内为增函数且是奇函数
	B．	函数f（x）在其定义域内为增函数且是偶函数
	C．	函数f（x）在其定义域内为减函数且是奇函数
	D．	函数f（x）在其定义域内为将函数且是偶函数

7．已知函数f（x）=x³-x²+mx+2，若对任意x₁，x₂∈R，均满足（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，则实数m的取值范围是[$\frac{1}{3}$，+∞）．

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