题目内容

6.已知向量$\overrightarrow{m}$=(sinA,sinB),$\overrightarrow{n}$=(cosB,cosA),$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin2C,且A,B,C分别为△ABC的三边a,b,c所对的角.
(I)求角C的大小;
(Ⅱ)若sinA,sinC,sinB成等差数列,且△ABC的面积为$9\sqrt{3}$,求c边的长.

分析 (Ⅰ)根据向量数量积的定义,以及三角函数的关系式即可求角C的大小;
(Ⅱ)若根据等差数列的性质,建立方程关系结合三角形的面积公式以及余弦定理进行求解即可.

解答 解:(Ⅰ)$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,
∵$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin2C,
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin2C=sinC,
即2sinCcosC=sinC,解得cosC=$\frac{1}{2}$,
C=$\frac{π}{3}$.
(Ⅱ)∵sinA,sinC,sinB成等差数列,
∴2sinC=sinA+sinB,
由正弦定理得2c=a+b,
又△ABC的面积为$9\sqrt{3}$,
即$\frac{1}{2}$absinC=$9\sqrt{3}$,
即$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$ab=$9\sqrt{3}$,解得ab=36,
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab,
得c2=4c2-3×36,
解得c2=36,c=6.

点评 本题主要考查余弦定理和三角形的面积的计算,利用向量的数量积进行化简是解决本题的关键.考查学生的运算能力.

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