题目内容
【题目】正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2﹣（n2+n﹣1）Sn﹣（n2+n）=0
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）令bn= 
，求数列{bn}的前n项和Tn ， 证明：对于任意的n∈N* ， 都有Tn 
．
【答案】
（1）解：∵Sn2﹣（n2+n﹣1）Sn﹣（n2+n）=0，
∴（Sn﹣（n2+n））（Sn+1）=0，
∴Sn=n2+n，或Sn=﹣1（舍去），
故正项数列{an}为等差数列，
其中a1=1+1=2，a2=S2﹣S1=4，
故an=2+2（n﹣1）=2n；
（2）解：∵bn= 
= 
（ 
﹣ 
），
∴Tn= （1﹣ 
+ 
﹣ + ﹣ 
+…+ ﹣ ）
= （1+ ﹣ ﹣ ）
= 
﹣ （ + ）；
故Tn＜ ．
【解析】（1）因式分解可得（Sn﹣（n2+n））（Sn+1）=0，从而求得Sn=n2+n，从而判断出{an}为等差数列，从而解得；（2）裂项bn= = （ ﹣ ），从而求其前n项和证明不等式即可．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．
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