题目内容
【题目】【2017广东佛山二模】设函数,其中
,
是自然对数的底数.
(Ⅰ)若是
上的增函数,求
的取值范围;
(Ⅱ)若,证明:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(I)由于函数单调递增,故导函数恒为非负数,分离常数后利用导数求得的最小值,由此得到
的取值范围;(II)将原不等式
,转化为
,令
,求出
的导数,对
分成
两类,讨论函数的最小值,由此证得
,由此证得
.
试题解析:
(Ⅰ),
是
上的增函数等价于
恒成立.
令,得
,令
(
).以下只需求
的最大值.
求导得,
令,
,
是
上的减函数,
又,故1是
的唯一零点,
当,
,
,
递增;当
,
,
,
递减;
故当时,
取得极大值且为最大值
,
所以,即
的取值范围是
.
(Ⅱ).
令(
),以下证明当
时,
的最小值大于0.
求导得.
①当时,
,
;
②当时,
,令
,
则,又
,
取且使
,即
,则
,
因为,故
存在唯一零点
,
即有唯一的极值点且为极小值点
,又
,
且,即
,故
,
因为,故
是
上的减函数.
所以,所以
.
综上,当时,总有
.
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