Question

4．已 知椭圆C₁：：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与双曲线C₂有公共焦点F₁、F₂，（F₁、F₂分别为左、右焦点），它们在第一象限交于点M，离心率分别为e₁和e₂，线段MF₁的垂直平分线过F₂，则$\frac{1}{e_1}+\frac{e_2}{2}$的最小值为$2+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 通过图象可知F₁F₂=F₂M=2c，利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得$\frac{1}{e_1}+\frac{e_2}{2}$=2+$\frac{{a}_{2}}{c}$+$\frac{c}{2{a}_{2}}$，通过基本不等式即得结论．

解答 解：由题意可知：F₁F₂=F₂M=2c，
又∵F₁M+F₂M=2a₁，F₁M-F₂M=2a₂，
∴F₁M+2c=2a₁，F₁M-2c=2a₂，
两式相减，可得：a₁-a₂=2c，
∵$\frac{1}{e_1}+\frac{e_2}{2}$=$\frac{{a}_{1}}{c}$+$\frac{c}{2{a}_{2}}$=$\frac{2{a}_{1}{a}_{2}+{c}^{2}}{2c{a}_{2}}$，
∴$\frac{1}{e_1}+\frac{e_2}{2}$=$\frac{2（2c+{a}_{2}）{a}_{2}+{c}^{2}}{2c{a}_{2}}$=$\frac{4c{a}_{2}+2{{a}_{2}}^{2}+{c}^{2}}{2c{a}_{2}}$=2+$\frac{{a}_{2}}{c}$+$\frac{c}{2{a}_{2}}$，
∵$\frac{{a}_{2}}{c}$+$\frac{c}{2{a}_{2}}$≥2$\sqrt{\frac{{a}_{2}}{c}•\frac{c}{2{a}_{2}}}$=2$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{{a}_{2}}{c}$=$\frac{c}{2{a}_{2}}$时等号成立，
∴$\frac{1}{e_1}+\frac{e_2}{2}$的最小值为2+$\sqrt{2}$，
故答案为：$2+\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．