题目内容
己知斜率为1的直线l与双曲线C:
-
=1(a>0,b>0)相交于B、D两点,且BD的中点为M(1,3).
(Ⅰ)求C的离心率;
(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|•|BF|=17,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(Ⅰ)求C的离心率;
(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|•|BF|=17,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.
(Ⅰ)由题设知,l的方程为:y=x+2,代入C的方程,并化简,
得(b2-a2)x2-4a2x-a2b2-4a2=0,
设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=
,x1x2=-
,①
由M(1,3)为BD的中点知
=1.
故
×
=1,即b2=3a2,②
故c=
=2a,
∴C的离心率e=
=2.
(Ⅱ)由①②知,C的方程为:3x2-y2=3a2,A(a,0),F(2a,0),
x1+x2=2,x1x2=-
.
故不妨设x1≤-a,x2≥a,
|BF|=
=a-2x1,|FD|=
=2x2-a,
|BF|•|FD|=(a-2x1)(2x2-a)=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8.
又|BF|•|FD|=17,故5a2+4a+8=17.
解得a=1,或a=-
(舍去),
故|BD|=
|x1-x2|=
=6,
连接MA,则由A(1,0),M(1,3)知|MA|=3,
从而MA=MB=MD,且MA⊥x轴,
因此以M为圆心,MA为半径的圆经过A、B、D三点,且在点A处与x轴相切,
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.
得(b2-a2)x2-4a2x-a2b2-4a2=0,
设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=
4a2 |
b2-a2 |
4a2+a2b2 |
b2-a2 |
由M(1,3)为BD的中点知
x1+x2 |
2 |
故
1 |
2 |
4a2 |
b2-a2 |
故c=
a2+b2 |
∴C的离心率e=
c |
a |
(Ⅱ)由①②知,C的方程为:3x2-y2=3a2,A(a,0),F(2a,0),
x1+x2=2,x1x2=-
4+3a2 |
2 |
故不妨设x1≤-a,x2≥a,
|BF|=
(x1-2a)2+y12 |
(x2-2a)2+y22 |
|BF|•|FD|=(a-2x1)(2x2-a)=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8.
又|BF|•|FD|=17,故5a2+4a+8=17.
解得a=1,或a=-
9 |
5 |
故|BD|=
2 |
2 |
(x1+x2)2-4x1x2 |
连接MA,则由A(1,0),M(1,3)知|MA|=3,
从而MA=MB=MD,且MA⊥x轴,
因此以M为圆心,MA为半径的圆经过A、B、D三点,且在点A处与x轴相切,
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.
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